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1、試題題目:已知F1、F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,O..

發布人:繁體字網(www.ltnnw.tw) 發布時間:2016-02-07 07:30:00

試題原文

已知F1、F2是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點,O為坐標原點,橢圓上的點到焦點距離的最大值為
2
+1,最小值為
2
-1
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)已知⊙O是以F1F2為直徑的圓,一直線l:y=kx+m與⊙O相切,與橢圓C交于不同的兩點A(x1,y1)、B(x2,y2),且滿足
2
3
≤x2?x2+y1?y2
3
4
,求△AOB面積S的最大值.

  試題來源:桂林二模   試題題型:解答題   試題難度:中檔   適用學段:高中   考察重點:橢圓的標準方程及圖象



2、試題答案:該試題的參考答案和解析內容如下:
(Ⅰ)由題設知
a+c=
2
+1
a-c=
2
-1

解得a=
2
,c=1,
∴b2=1.
∴橢圓的標準方程為
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)∵圓O與直線l相切,
|m|
k2+1
=1

∴m2=k2+1.
x2
2
+y2 =1
y=kx+m
,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∵直線l與橢圓交于兩個不同的點,
∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,
∴k2>0.
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1?x2=
2m2-2
1+2k 2
=
2k2
1+2k2

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2  +km(x1+x2)+m2=
1-k2
1+2k2

x1x2+y1y2=
1+k2
1+2k2

2
3
≤x2?x2+y1?y2
3
4

2
3
1+k2
1+2k2
3
4

1
2
k2≤1

S△AOB=
1
2
?|AB|?1

=
1
2
1+k2
?
(-
4km
1+2k2
)2-4×
k2
1+2k2

=
2(k4+k2)
4(k4+k2)+1

設μ=k4+k2,則
3
4
≤μ≤2

S=
4μ+1
,μ∈[
3
4
,2]

∵S關于μ∈[
3
4
,2]
上單調遞增,
∴△AOB面積S的最大值為S(2)=
2×2
4×2+1
=
2
3
3、擴展分析:該試題重點查考的考點詳細輸入如下:

    經過對同學們試題原文答題和答案批改分析后,可以看出該題目“已知F1、F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,O..”的主要目的是檢查您對于考點“高中橢圓的標準方程及圖象”相關知識的理解。有關該知識點的概要說明可查看:“高中橢圓的標準方程及圖象”。


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